数字逻辑期末复习

1. 卡诺图与例图

2. 带无关项的卡诺图

d 的意味：无关项。用 AB 和 CD 建立带无关项的卡诺图即可。

3. 石英晶体振荡器

石英晶体振荡器优点：频率稳定度高，频率精度高。

4. 悬空、电阻与高阻态

如何处理悬空、电阻等？

“禁用”描述为高阻态。

5. 555 + 触发器电路分析

第一步：拆解电路，识别各模块的功能

1. 左边的 555 定时器：多谐振荡器（Astable Multivibrator）

如何识别：看它的 2 脚（触发端）和 6 脚（阈值端）连接在一起，并连到了电容 $C_1$ 上。这是多谐振荡器的经典特征。
功能：它不需要外接输入信号，自己就会源源不断地产生矩形波（也就是时钟脉冲信号 $Q_1$）。
常用公式：

$$t_{H1} \approx \ln(2)(R_A + R_B)C_1 \approx 0.7(R_A + R_B)C_1$$ $$t_{L1} \approx \ln(2)R_BC_1 \approx 0.7 R_B C_1$$ $$T = t_{H1} + t_{L1} \approx 0.7(R_A + 2R_B)C_1$$

2. 右边的 555 定时器：单稳态振荡器（Monostable Multivibrator）

如何识别：6 脚（阈值端）和 7 脚（放电端）连接在一起，而 2 脚（触发端）单独接出来，接到了左边 555 的输出端 $Q_1$。
功能：平时它处于稳定的低电平状态。当 2 脚输入一个下降沿（高电平跳变到低电平）时，它会被触发，输出一个宽度为 $T_w$ 的高电平脉冲，然后又回到低电平。
常用公式：

$$T_w \approx \ln(3) R C_2 \approx 1.1 R C_2$$

3. 最右边的触发器：T' 触发器 / 计数器

如何识别：这是一个带有时钟控制端（CLK，带小圆圈表示下降沿触发）的触发器。图中 J 端悬空（在简化的电路中通常代表 J=K=1，即 T' 触发器）。
功能：每当输入端 $Q_2$ 出现一个下降沿（从 1 变 0）时，输出端 $Q_3$ 的状态就翻转一次（0 变 1，或者 1 变 0）。

6. 给或与式怎么画卡诺图？

7. 7485 比较器

7485 比较器：级联输入端的优先级是最低的，当输入相等才看它。

8. 例图

9. 有符号二进制数偏移码

有符号二进制数偏移码：符号位取反。

10. 反函数与对偶式

反函数：+ 与 · 互换，变量取反，1 与 0 取反。
对偶式：+ 与 · 互换，1 与 0 取反。

11. VEM 圈法

四、填空题第 (4) 题：解答“VEM 怎么圈？圈的本质是什么？”

1. 试卷印刷/排版问题

印刷错误：题目写着“$F_4$ 的卡诺图如下”，后面填空却写成“则 $F_6(A,B,C,D)$ 的最简与或式为：”。此处“$F_6$”应为“$F_4$”。

2. 核心解答：VEM 圈的本质是什么？

VEM（Variable Entered Map，引入变量卡诺图）的本质是“降维打击”与“香农展开（Shannon's Expansion）”。

在面对 4 变量（$A,B,C,D$）问题时，如果画 $4\times 4$ 的传统卡诺图会比较大。VEM 的思想是：只用 $A, B$ 作为卡诺图的网格坐标（降为 2 维），而把剩下的变量 $C, D$ 作为“权重（输入变量）”直接写进格子里面。

格子里面的每一个值（如 $\overline{CD}$、$C$、$CD$、$1$），本质上就是函数在该坐标下的代数系数。

例如，该图对应的代数原始式为：

$$F_4 = \overline{A}\overline{B}(\overline{C}\overline{D}) + A\overline{B}(C) + \overline{A}B(CD) + AB(1)$$

3. VEM 的通用圈法（拆分法）

既然 VEM 的格子里面装的是关于 $C, D$ 的函数，为了不搞错，最稳妥、最符合本质的圈法是“因子拆分法”。

我们将格子里的每一个元素，拆解为关于输入变量 $C, D$ 各种状态的组合。在这道题中，涉及的因子有 1、C、CD 和 \overline{CD}：

步骤①：找 1 因子圈

我们只看卡诺图中恒为 1 的格子。其他格子一律看作 0。
只有右下角 $AB=11$ 的格子是 1。
圈出来的最简项为：

$$\text{Term}_1 = AB \cdot 1 = AB$$

步骤②：找 C 因子圈

我们寻找包含 $C$ 因子的格子。哪些格子包含 $C$？
格子本身写着 $C$ 的（右上角 $AB=10$）。
格子本身写着 $1$ 的（右下角 $AB=11$，因为 $1$ 里面必然包含 $C$）。
将这两个相邻的格子圈在一起（横向两格圈，消去 $B$）。
圈出来的最简项为：

$$\text{Term}_2 = A \cdot C = AC$$

步骤③：找 CD 因子圈

我们寻找包含 $CD$ 因子的格子：
格子本身写着 $CD$ 的（左下角 $AB=01$）。
格子本身写着 $1$ 的（右下角 $AB=11$，因为 $1$ 包含 $CD$）。
将这两个相邻的格子圈在一起（纵向两格圈，消去 $A$）。
圈出来的最简项为：

$$\text{Term}_3 = B \cdot CD = BCD$$

步骤④：找 $\overline{CD}$ 因子圈

我们寻找包含 $\overline{C}\overline{D}$（即 $\overline{CD}$）因子的格子：
格子本身写着 $\overline{CD}$ 的（左上角 $AB=00$）。
右下角的 $1$ 虽然也包含它，但它们处于对角线，无法相邻成圈。
因此该格只能单独作圈（大小为 1）。
圈出来的最简项为：

$$\text{Term}_4 = \overline{A}\overline{B} \cdot \overline{C}\overline{D} = \overline{A}\overline{B}\overline{C}\overline{D}$$

4. 最终正确答案

把上述所有步骤找出来的项进行 “或（+）” 运算，即得到 $F_4$ 的最简与或式：

$$F_4(A,B,C,D) = AB + AC + BCD + \overline{A}\overline{B}\overline{C}\overline{D}$$

12. 例图

13. 例图

14. 标准与或式提醒

一定要看好是标准与或式还是最小与或式！！！

15. 例图

16. Verilog 里，如何写逻辑函数？

17. 例图

18. 偏移码补充

偏移码：补码的符号位取反。

19. 555 定时器与 OC 门

555 定时器看图秘籍

在数电考试中，555 定时器是高频考点，而识别电路有一个“看图秘籍”。

不需要去死记复杂的内部电路，只需要看 555 芯片的几个关键引脚（2 脚、6 脚、7 脚）之间是如何连接的。

以下是快速看懂 555 电路的“三大黄金法则”，建议你记在心里，后天考场上直接套用：

秘籍一：如何一眼认出“单稳态触发器”？（图中的 555 I）

看单稳态，盯着两个关键特征：

特征 1（最核心）：6 脚（阈值输入）和 7 脚（放电端）直接连在一起。你看图中左边的 555(I)，它的 6 脚和 7 脚中间是一根直导线连在一起的，然后一起接在 $R_1$ 和 $C_1$ 之间。
特征 2（看输入）：2 脚（触发端）接了外部开关或脉冲源。2 脚接了一个开关 $K$。这说明它需要人去“按一下”才会工作，属于“不拨不转”的单稳态。
特征 3（看阻容）：只有一个电阻 $R_1$ 和一个电容 $C_1$。因为只需要一个充电路径，所以只需要一个电阻。

符合这三个特征，闭着眼睛写“单稳态触发器”，公式必是：$t_W \approx 1.1 R C$。

秘籍二：如何一眼认出“多谐振荡器”？（图中的 555 II）

看自激振荡（多谐），盯着这两个特征：

特征 1（最核心）：2 脚（触发端）和 6 脚（阈值输入）直接连在一起。你看图中右边的 555(II)，它的 2 脚和 6 脚是用导线直接连在一起，然后接到电容 $C_2$ 的。
原理：因为 2 脚（低于 1/3 起振）和 6 脚（高于 2/3 停振）相连，电容电压就会在 1/3 和 2/3 之间来回自动震荡，不需要人去触发。
特征 2（看阻容）：有两个电阻（$R_2$、$R_3$）夹着 7 脚。一个电阻 $R_2$ 接在电源和 7 脚之间；另一个电阻 $R_3$ 接在 7 脚和 6/2 脚之间。这是为了让“充电路径”和“放电路径”不同。

符合这两个特征，闭着眼睛写“多谐振荡器”，周期公式必是：$T \approx 0.7(R_2 + 2R_3)C$。

秘籍三：怎么看出它们之间是“谁控制谁”？

看 4 脚（复位端，通常低电平有效） 接在哪里：

左边 555(I) 的 4 脚：直接接在了 $5\text{V}$ 电源上。说明它永远不复位，一直处于待命状态，随时等开关 $K$ 按下。
右边 555(II) 的 4 脚：它没有接电源，而是连在了左边 555(I) 的输出端 3 脚（$Q_1$）上。

当 $Q_1 = 0$（低电平）时，右边的 555 强行复位，不振荡（扬声器无声）。
当 $Q_1 = 1$（高电平）时，右边的 555 被允许工作，开始振荡（扬声器发出 200 Hz 的声音）。

考前总结口诀：

“6、7 相连单稳态”：需手动触发，出单个脉冲。
“2、6 相连多谐振”：自动来回转，出连续方波。
“4 脚受控是门控”：前级管后级，控制起停。

掌握了这三条，考场上任何 555 分析题，你花 3 秒钟就能把电路功能和公式默写出来了！

这个东西怎么用？

集电极开路与非门（简称 OC 门，Open Collector）与普通与非门（通常是图腾柱输出/推挽输出）的最本质区别在于输出级结构的不同。

用一句话概括：普通与非门“自备”输出高低电平的能力；而 OC 门只负责拉低电平，要输出高电平必须在外围接一个上拉电阻和电源。

以下是它们在结构、使用方法和应用场景上的具体区别：

1. 内部结构的区别

普通与非门（图腾柱输出）：内部输出端有两个三极管（一个在上，一个在下，像一根柱子）。输出“1”时，上面的三极管导通，向外送出电流（高电平 $\approx 3.6\text{V} \sim 5\text{V}$）。输出“0”时，下面的三极管导通，向内吸入电流（低电平 $\approx 0.2\text{V}$）。
OC 与非门（集电极开路）：内部去掉了上面的三极管，只留下面的三极管。其集电极（Collector）直接裸露接在输出引脚上，处于“开路（悬空）”状态。
注意标志：电路符号内部有一个下面带横线的菱形符号（$\underline{\diamondsuit}$），这就是 OC 门的专属标志。

2. 使用方法上的区别（必须加“上拉”）

普通与非门：直接接负载即可工作。
OC 与非门：必须在输出端外接一个上拉电阻 $R$ 到电源 $E_c$（如您给出的图所示）。
如果没有这个外接电阻，当输入让它输出“高电平”时，输出端会处于高阻态（相当于断开/悬空），无法输出任何电压和电流。

3. 三大核心优势（OC 门存在的意义）

① 实现“线与”功能 (Wired-AND)

普通门电路：绝对不允许把两个输出端直接拧在一起。因为如果一高一低，会在芯片间形成极大的短路电流，烧毁芯片。
OC 门：可以把多个 OC 门的输出端直接连在一起，共用一个上拉电阻。
只有所有 OC 门都输出高电平时，总输出才是高电平。
只要有一个 OC 门输出低电平，总输出就被拉低。
这在硬件上用一根导线就实现了“与”逻辑（称为线与），极大简化了电路。

② 电平转换 (Level Shifting)

普通门电路：如果工作在 $5\text{V}$ 电源下，输出高电平就只能是 $5\text{V}$ 左右。
OC 门：外接上拉电源 $E_c$ 的电压可以与芯片自身的供电不同。
例如：555 芯片或单片机工作在 $5\text{V}$，但你可以把上拉电阻接在 $12\text{V}$ 或 $24\text{V}$ 的电源上。这样 OC 门输出的高电平就是 $12\text{V}$ 或 $24\text{V}$，轻松实现了低电压控制高电压逻辑。

③ 大电流/大负载驱动

普通门的驱动能力极弱（通常只有十几毫安），无法驱动大元件。
OC 门内部只剩一个下拉三极管，这个三极管可以做得耐压很高、通过电流很大，因此 OC 门可以直接用来开关小型继电器、指示灯、电磁阀等大功率负载。

20. TTL、CMOS、NMOS 门电路专项复习

21. 555 定时器引脚的作用

22. 555 定时器引脚功能速记表

为了方便你今晚高效记忆，我将 555 定时器的 8 个引脚功能、考点作用以及内部逻辑对应关系整理成了下表：

555 定时器引脚功能速记表

引脚	符号/名称	常用中文名称	核心功能与考点作用	考试高频接法/常识
1	GND	地端	芯片接地端。	直接接地。
2	$\overline{TR}$ (Trigger)	低触发输入端	监测电压下限。当该脚电压 $< \frac{1}{2}V_{CO}$（平时为 $\frac{1}{3}V_{CC}$）时，输出立刻强行置高电平（1）。	常与 6 脚连在一起接在电容上。
3	OUT	输出端	输出矩形脉冲的端口。	接负载、指示灯或下一级电路。
4	$\overline{RD}$ (Reset)	直接清零端	低电平有效。当该脚电压 $< 0.4\text{ V}$ 时，输出强制清零（0）。优先级最高。	正常工作时必须接高电平 $V_{CC}$，防止意外复位。
5	$V_{CO}$ (Control)	控制电压端	决定内部比较器的参考电压。不接时，内部默认上限阈值为 $\frac{2}{3}V_{CC}$，下限为 $\frac{1}{3}V_{CC}$。	① 正常工作悬空时，通过 $0.01\mu\text{F}$ 旁路电容接地防干扰。 ② 若接固定电压 $V_{CO}$，则上限阈值变为 $V_{CO}$，下限变为 $\frac{1}{2}V_{CO}$。
6	$TH$ (Threshold)	高触发（阈值）端	监测电压上限。当该脚电压 $> V_{CO}$（平时为 $\frac{2}{3}V_{CC}$）时，如果 2 脚为高电平，输出置低电平（0）。	常与 2 脚连在一起接在电容上。
7	$DIS$ (Discharge)	放电端	内部放电三极管的集电极。 ① 当输出（3 脚）为高时，三极管截止（断开），电容充电； ② 当输出（3 脚）为低时，三极管导通接地，电容放电。	接在充电电阻和放电电阻之间，利用电容放电。
8	$V_{CC}$	电源端	双极型（555）工作电压一般为 $4.5\text{ V} \sim 16\text{ V}$。	接电源正极。

核心考点：电压输入与输出状态状态表（极高频考点）

在分析 555 定时器时，记住以下核心的比较器判定规则（假设 5 脚未接外设，即默认状态下）：

4 脚 ($\overline{RD}$)	6 脚 ($TH$ 电压)	2 脚 ($\overline{TR}$ 电压)	3 脚 (OUT)	7 脚（放电管状态）	对应电路状态
低电平 ($<0.4\text{V}$)	$\times$（任意）	$\times$（任意）	0	导通（接地）	直接清零（强行复位）
高电平 ($>1\text{V}$)	$> \frac{2}{3}V_{CC}$	$> \frac{1}{3}V_{CC}$	0	导通（放电）	电容放电状态
高电平 ($>1\text{V}$)	$< \frac{2}{3}V_{CC}$	$< \frac{1}{3}V_{CC}$	1	截止（断开）	电容充电状态
高电平 ($>1\text{V}$)	$< \frac{2}{3}V_{CC}$	$> \frac{1}{3}V_{CC}$	保持	保持	暂态/保持状态

口诀：

“输低看 2 脚，输高看 6 脚”。
2 脚低于三分之一，输出必为 1；6 脚高于三分之二且 2 脚高于三分之一，输出必为 0；夹在中间则保持。

23. One-Hot 状态分配法

这种题怎么做？这个设计方法专业上称为 One-Hot，即独热码状态分配法，或者每状态一个触发器法。

它听起来高大上，但其实是数电时序逻辑设计里最简单、最容易拿满分的题型。

你完全不需要懂得什么是 ASM 图，只要记住下面的万能口诀，考场上遇到这种题直接套。

核心原理与万能口诀

1. 什么是“每状态一个 D 触发器”？

这个电路一共有 4 个状态：00、01、11、10。

我们给每个状态都分配一个专属的 D 触发器，分别命名为：$Q_{00}$、$Q_{01}$、$Q_{11}$、$Q_{10}$。

在任意时刻，只有一个触发器为 1（代表当前处于该状态），其余触发器全部为 0。

2. 驱动方程 $D$ 的万能口诀：“看指向它的输入箭头”

因为 D 触发器的特性是 $Q^{n+1} = D$，所以求触发器的驱动方程 $D_{\text{状态}}$，就是求“下一时刻如何进入该状态”。

口诀：

在状态图上，找到所有指向该状态的箭头。
每一个箭头对应一个乘积项：
把指向该状态的所有乘积项相加（或门连接），就是该状态的驱动方程。

$$\text{源状态} \times \text{箭头上的输入条件}$$

跟着口诀，手把手推导 4 个方程

我们对着图 7，逐个状态找指向它的箭头：

1. 求 $D_{00}$（指向 `00` 的箭头）

观察状态图，指向 00 状态的箭头一共有 3 个：

第 1 个（自身回环）：源状态是 00，条件是 $S = 0$。对应项：$Q_{00}\bar{S}$。
第 2 个（左侧由 11 向上指）：源状态是 11，条件是 $X = 0$。对应项：$Q_{11}\bar{X}$。
第 3 个（右侧由 10 向上指）：源状态是 10，条件是 $X = 1$。对应项：$Q_{10}X$。

把它们相加，得到 $D_{00}$ 的驱动方程：

$$\mathbf{D_{00} = Q_{00}\bar{S} + Q_{11}\bar{X} + Q_{10}X}$$

2. 求 $D_{01}$（指向 `01` 的箭头）

观察状态图，指向 01 状态的箭头只有 1 个：

这 1 个（由 00 向下指）：源状态是 00，条件是 $S = 1$。对应项：$Q_{00}S$。

得到 $D_{01}$ 的驱动方程：

$$\mathbf{D_{01} = Q_{00}S}$$

3. 求 $D_{11}$（指向 `11` 的箭头）

观察状态图，指向 11 状态的箭头一共有 3 个：

第 1 个（自身回环）：源状态是 11，条件是 $X=1, Y=0$。对应项：$Q_{11} X \bar{Y}$。
第 2 个（由 01 斜向下指）：源状态是 01，条件是 $M = 0$。对应项：$Q_{01}\bar{M}$。
第 3 个（底部由 10 向左指）：源状态是 10，条件是 $X = 0, Y = 0$。对应项：$Q_{10}\bar{X}\bar{Y}$。

把它们相加，得到 $D_{11}$ 的驱动方程：

$$\mathbf{D_{11} = Q_{11}X\bar{Y} + Q_{01}\bar{M} + Q_{10}\bar{X}\bar{Y}}$$

4. 求 $D_{10}$（指向 `10` 的箭头）

观察状态图，指向 10 状态的箭头一共有 3 个：

第 1 个（自身回环）：源状态是 10，条件是 $X=0, Y=1$。对应项：$Q_{10}\bar{X}Y$。
第 2 个（由 01 斜向下指）：源状态是 01，条件是 $M = 1$。对应项：$Q_{01}M$。
第 3 个（由 11 向右指）：源状态是 11。线段左端标了 $X=1$，右端箭头处标了 $Y=1$，说明条件是 $X=1, Y=1$。对应项：$Q_{11}XY$。

把它们相加，得到 $D_{10}$ 的驱动方程：

$$\mathbf{D_{10} = Q_{10}\bar{X}Y + Q_{01}M + Q_{11}XY}$$

考前总结

这种设计方法的写方程过程非常机械化，完全不需要画卡诺图去化简，只需要在图上“数箭头”并写出乘积项相加即可。

如果考到第（2）问：

先声明：“设四个状态对应的 D 触发器输出状态分别为 $Q_{00}, Q_{01}, Q_{11}, Q_{10}$”。
然后直接写出上面推导的这 4 个驱动方程。

这样这道题的后半部分（4 分）就稳稳到手。

附录：原 PDF 查阅

下面嵌入原文件 谨记_260519_170839.pdf，方便复习时直接查原版内容。

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